kintone サブテーブルデータの更新

この [0] をどう扱うかがポイントです。record[‘テーブル’][‘value’] はオブジェクトではなく配列なので以下のようになります。

param.records.push({
    id: record['$id'].value,
    record: {
        '補足_支払い方法': {
            value: furikae
        },
        '請求内容': {
            value: [
                // [0]の内容 = 1行目
                {
                    value: {
                        '請求書_日付': {
                            value: record['工事完了日'].value
                        }
                    }
                },
                { /* 2行目があればここに書く */ },
                { /* 3行目があればここに書く */ }
            ]
        }

詳しくはこちらを参考にしてみてください。