最初に、keyupイベントを起こすtextareaにアクセスするためにはvalue-6484780より更に子要素を指定する必要があります。
const honbun_element = document.getElementsByClassName("value-6484780")[0].getElementsByClassName('textarea-cybozu')[0];
①カウントされない理由
const mozi = record['honbun']['value'];
こちらがshowイベント時に宣言されていて、keyupイベント内でこの文字列の長さを参照しているため、「編集開始時に宣言した文字列（編集開始時の文字列）」をkeyupイベントで参照し続けていることになります。keyupイベント内で「現在の文字列フィールドの値」を参照する必要があります。
また、keyupイベントより先にappendChildされているmozi_countの値を変えても要素は変わらないので、mozi_countのidを指定して文字を変える必要があります。
↓
honbun_element.addEventListener('keyup', function(){
let mozi = kintone.app.record.get().record['honbun'].value;
let mozi_count = mozi.replace(/\s+/g, "").length;
document.getElementById('count_mozi').textContent = "現在"+mozi_count +"文字";
（この例ではkintone.app.record.get()で文字列を参照していますが、最終的にはindex.edit.showでも対応させるため直接textareaを指定する必要があります）
②詳細画面では0になる理由
「現在○文字」と表示する動作がkeyupイベント（キーの入力）以外で実行されていないためです（showイベント内では「現在0文字」と表示する動作しかありません）。最初のtextContent代入時に文字列の長さを指定する必要があります。
count_mozi.textContent = "現在"+0+"文字";
↓
count_mozi.textContent = "現在"+(record['honbun'].value?.length || 0) +"文字";
また、
let mozi_count = mozi.replace(/\s+/g, "").length;
こちらは文字列複数行フィールドが空白の時にエラーを起こします（空白時の値はundefind：文字ではないものであるのに対し、replace：文字に対して実行するものを実行）。本来であればif (mozi)と値があるかの判定後にreplaceを実行する必要がありますが、使っていないようなので削除した方が良いでしょう。
最終的には以下のような処理で可能です。
(() => {
'use strict';
let fieldNumber = '6484780';
let fieldCode = 'honbun';
kintone.events.on([
'app.record.detail.show', 'app.record.create.show', 'app.record.edit.show', 'app.record.index.edit.show'
], (event) => {
if (!document.getElementsByClassName(`label-${fieldNumber}`).length) return event;
let record = event.record;
let strLength = record[fieldCode].value?.length || 0;
let label = document.getElementsByClassName(`label-${fieldNumber}`)[0];
let span = document.createElement('span');
span.id = 'count_moji';
label.appendChild(span);
document.getElementById('count_moji').textContent = `現在${strLength}文字`;
if (!event.type.match(/detail/)) {
let input = document.getElementsByClassName(`value-${fieldNumber}`)[0].getElementsByClassName('textarea-cybozu')[0];
if (event.type.match(/index/)) input = document.getElementsByClassName('recordlist-editcell-inner-gaia')[0].getElementsByClassName('recordlist-forms-textarea-gaia')[0];
input.addEventListener('keyup', () => {
strLength = input.value?.length || 0;
document.getElementById('count_moji').textContent = `現在${strLength}文字`;
});
}
return event;
});
})();