返信が遅くなってすみません。
私の手元の環境でも試してみたのですが、Live Server をインストールしても、
「Open with Live Server」は出てきませんでした。。
なお、「Go Live」を押下することで、ブラウザは起動するので、
「Open with Live Server」のことは一旦忘れていいかもしれないです。
念のための確認ですが、ダウンロードした mkcert ファイルは 、
ご利用の環境にあったものを利用しておりますでしょうか？
mkcert ファイルが利用している環境に適していないことで、
設定がうまくいっていないことも考えられるので、
一旦確認してみてください。
また、 Live Server の設定手順については、以下のページでも詳細に
案内されているので、今一度、設定手順に抜けがないかなど、
確認してみてもらえますでしょうか。
（私は以下のページ通り設定して、無事に Live Server 起動しました。）